高考数学推理与证明 第1篇
让学生学会推理、证明，培养学生的推理能力,探索推理的过程和方法是一项艰巨而长期的任务,合情推理产生新知识,演绎推理能证明所提出理论并发现以前的错误。证明能力是学生独立思考能力的核心，推理的功能主要是促进思维和理解。
一、数学学习有助于培养人的理性思维，其实质是数学推理的学习能够有助于人们进行合理、有效的推理活动。
二、数学推理的学习包括对推理过程的'理解、把握(了解命题的含义、条件与结论之间的逻辑关系等)，以及准确地表达推理(证明)的过程。
三、数学推理的学习不能等同于数学证明的学习。数学推理有多种形式，数学证明则特指具有公理化意义的逻辑证明。
在培养学生推理和证明过程中，我试用了以下方法：
一、创设生活化的学习情境
创设情境可通过动手操作、看动画演示、做数学游戏、讲数学故事、联系实际生活等多种方式进行。可以是教师在课前设计的，在上课开始的时候作为创设情境，积累经验和提出问题之用，如许多教师常常用实际问题或设置悬念导入新课来激发学生的求知欲;也可以在教学过程中为研究需要而临时产生的尝试性的研究活动，如在教学过程中，学生提出了意想不到的观点或方案等。
二、建立互动型的师生关系
教师要讲究课堂教学艺术，尊重学生的个性，多关注一些学生的能力，诱导学生自主地学习不断地探究。使学生真正成为学习的主人，最大限度地发挥每个学生的潜能，在认知和情感两个领域的结合上，促进学生全面发展，使学生愿学、爱学、乐学，培养“亲其师、信其道”的真挚感情，化感情为学习数学的动力。
三、重视学生数学能力的培养
数学能力实际上是学生在数学学习活动中听、说、读、写、想等方面的能力，它们是数学课堂学习活动的前提和不可缺少的学习能力，也是提高数学课堂学习效率的保证。在数学教学活动中，“听”就是学生首先要听课，同时也要听同学们对数学知识的理解和课后的感受，这就需要有“听”的技能。因此，教师要随时了解周围学生对数学课知识要点的理解及听课的效果，同时，教师也可以向学生传授一些听课技能。在课堂教学中要尽量为学生创造有利于形成听、说、读、写、想能力的条件，并不断摸索培养的规律和方法。
四、教师要不断更新教学手段、掌握数学技术
新课标下的数学教学只靠传统的粉笔加黑板是无法完成达到要求的。有许多图片、图象需要多媒体展示，许多知识的发生发展过程需要电脑演示。在教学中我们会经常遇到用较多的语言说明一些概念、算理、公式等现象，而且它往往又是教学的重点和难点，借助多媒体辅助教学，可以活化这些现象，而且特别直观、形象，从中不需要教师多言语学生就可以自己感悟到数学知识。教师必须掌握现代化教学手段，才能为学生提供丰富的知识和素材。
高考数学推理与证明 第2篇
如何培养学生的推理与证明能力论文
新课程在重新审视传统几何教学目标的基础上对推理与证明重新提出了明确的要求：“能通过观察、试验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据，给出证明或举出反例”，“从几个基本事实出发，证明一些有关三角形、四边形的性质，从中体会证明的必要性，理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式，初步感受公理化思想”。《新课程标准》同时指出“应注重对证明的理解，而不追求证明的数量和技巧”，这就既保留了传统几何中推理论证的部分要求，有明确防止过分“形式化”的证明。培养推理证明能力成为几何教学的主要价值体现。而事实上，推理既有合情推理，也有演绎推理，“演绎推理”就是我们平常说的“证明”，是结论已知的必然性推理；“合情推理”是根据已有的知识和经验，在某种情境和过程中推出可能性结论的推理（包括归纳、类比、统计推理等形式）。任何一个科学结论（包括数学定理、法则、公式等）的发现往往发端于对事物的观察、比较、归纳、类比，即通过合情推理得出猜想，然后再通过演绎推理说明猜想的正确或错误。所以，我认为在教学中应该做到如下几点：
一、激发学生对数学的学习兴趣
兴趣是人们力求认识事物和探求知识的心理倾向，它能激发和引导人们在思想感情和意志上去探索各种事物的底蕴，直接影响一个人工作效率和智力的发挥。在数学教学中，如何激发学生的学习兴趣呢？结合具体的教学内容，介绍数学在现代化建设中的地位和作用，介绍学好数学在现实生活中的巨大作用，让学生认识到学好数学既是发展的需要，又是现实的需要。
1、注重师生交流，强调情感育人
如果教师不注意与学生的感情交流，动不动就批评、指责，会导致他们对数学学习的`彻底绝望，那怎样才能增进师生的感情交流呢？我认为，应着力做好两个方面的工作：
一是交心。在教学中应该热爱自己的学生，用爱心去教化他们，缩短师生间的距离，让学生感到你是他们的朋友。教学中注意“轻、亲、清”，即轻松愉快、感情亲近、条理清晰，使学生感到轻松愉快，感情亲切，使师生感情进一步融洽。
二是引领。良好的师生关系是一堂课的关键，一位学生喜欢教师走进课堂，课堂气氛就会活跃愉快，这就有利于学生获得最大限度的进步和发展，师生之间的友谊就会发生教学的积极反馈。反之则形成教学的消极反馈，降低效果。
2、理论联系实际，注重直观教学
数学多为抽象、枯燥的数字符号，学生学起来感觉无味，这也会影响学生的学习兴趣。因而在教学中，教师应该尽量将书本上的知识加以研究使之变为生动有趣的问题。教学中要放手引导学生高度参与教学活动，让他们“够一够”后能品尝到撷取知识“果实”的乐趣和获得成功的愉快，通过多提问、板演、讨论等多种方法向学生提供体验这种愉快心情的机会。
3、讲究，激发学生兴趣
数学是一门非常严谨而又逻辑性十分强的学科，然而它又是丰富多彩、生动形象的学科。教学中除应注重其严谨性，掌握比较详实的数学史料外，同时还要把握教材内容和学生心理特点，将数学史料适时溶于教学中，用生动的事例及故事激发学生的学习兴趣。
二、树立学生学好证明的信心
因为推理论证的过程就是证明，在初中一提到证明，学生就联系到几何，对于证明，学生感到不知所措，因为在小学数学中，接触的是计算题、问答题，好像没有证明题。在初中数学教学中，首先告诉学生，别担心，其实你们小学计算题中也包括证明。例如：计算学生都知道等于几，具体过程是？为什么等？学生肯定答得出，既然你们能说出其中的理由，就说明了你们在小学已经具有一定的推理论证能力。另外告诉学生，证明题有时比计算题更具一定的方向性，因为计算题只有条件没有结果，而证明题既有条件，又有结论，只不过要你说出如何从条件到结论的理由罢了！
三、注意所学知识的比较和归纳
因为推理过程就是一个论证过程，它必须要有理论依据，而数学推理论证的依据是已知条件和学生已学过的定义、定理、公理等。这就要求学生在学习过程中善于总结和归纳，如果学生不归纳总结，学生所学的知识是松散的、零碎的，没有形成网络化，这就给推理论证带来了一定的困难。在平时的教学中，每学一节、一章，笔者都让学生前后联系，分门别类进行归纳、总结和比较。另外，对于一些证明方法，要求学生进行归纳、总结。例如：证两条线段相等，证两条直线平行，证两角相等，证两直线垂直等等都有哪些方法。
四、注意教师的示范性
在培养学生的推理论证方面，注意教师的示范性，具体表现在：讲证明题时，教师一方面要告诉学生如何去分析，要求学生先看结论，再看条件，这样在实际做题时，就能快速抓住要害。例如：求证有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等。在具体证明时，学生往往先看条件，后看结论，导致审题不清，错误地认为证明两个小的直角三角形全等，如果从后面结论入手，就不会出现上述错误；另外，教师在板书证明格式时要有条理性，这样有助于学生推理论证能力的形成。
高考数学推理与证明 第3篇
推理与证明教学设计
数学分析
1、在科学研究和日常生活中，常常用到合情推理探索、方法、寻求思路，发现规律，得到猜想、所以在数学、科学、经济和社会的历史发展中，合情推理有非常重要的价值，它是科学发现和创造的基础。
2、数学结论和数学证明思路的发现过程等主要靠合情推理即观察、试验、归纳、猜想等。因此，从数学发现过程以及数学研究方法的角度看，数学与自然科学一样，又是归纳的科学、但是数学归纳是否正确，有其严格、确切的要求，即已归纳出来的结论是否正确要以能否逻辑证明为依据。
3、对于数学命题，需要通过演绎推理严格证明、演绎推理是根据已知的事实和正确的结论、按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。
4、掌握推理与证明的基本方法，有利于提高学生思维能力，形成对数学较为完整的认识。
5、数学归纳法具有证明的功能，它将无穷的归纳过程根据归纳公理转化为有限的特殊演绎过程。
目标分析
1、了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理子啊数学发现中的作用，培养学生“发现—猜想—证明”的合情推理能力。
2、体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能用运用它们进行一些简单的推理。
3、了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
4、了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法与综合法的思考过程与特点。
5、了解间接证明的一种基本方法—反证法；了解反证法的思考过程与特点。
6、了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
课时安排
归纳与类比 两个课时
综合法与分析法 两个课时
反证法 一个课时
数学归纳法 两个课时
小结与复习一个课时
重难点分析
重点：能利用归纳和类比等进行简单的推理；掌握演绎推理的基本方法，并能用运用它们进行一些简单的推理；能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
难点：分析法与综合法的思考过程；反证法的思考过程；数学归纳法的原理。
教学建议与学法指导
1、通过对具体实例的推理过程的分析、体会，概括出合情推理的描述性定义、
2、归纳、演绎等推理方式，学生在以往的学习中已经接触，类比推理相对而言学生较为陌生、初学时常出现以下问题：
一是找不到类比的对象；
二是有了类比对象，却发现不了两类事物间的相似性或一致性。
通过类比，可以拓展学生的数学能力，提高学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，提高学生的实践能力和创新精神。
3、教学中可以要求同学用类比思想对前期模块中的教学内容进行梳理、在梳理的基础上类比发掘，这样有助于影响学生的学习方式，提高学生的创新精神。
4、在教学时，要把分析法与综合法的特点和它们之间的相互关系解释清楚，帮助学生理解。
5、教学时，要让学生明白反证法的适用情和使用的逻辑规则，特别要明确应用逆向思维，推出与已知条件或假设或定义、定理、公理、事实等矛盾是反证法思考过程的特点。
6、在数学归纳法的教学中，教师可先回顾学过的归纳法，举出一个不完全归纳的例子，再举用枚举法完全归纳的`例子，得出不完全归纳有利于发现问题，形成猜想，但结论不一定正确；完全归纳，结论可靠，但一一核对困难、从而需要一种科学的方法解决与正整数相关的数学问题。
7、教科书中例2展示了归纳和数学归纳法的区别、教师应借助此例让学生了解数学归纳法的原理，特别应注意引导学生通过归纳推理发现结论，然后再用数学归纳法证明其正确性。
8、小结时回应多米诺骨牌，设想推多米诺骨牌的多种可能情况，来解释数学归纳法的各步骤的必要性。
评价建议
注重评价学生在合情推理学习中表现出来的积极思考、用于探究的行为，培养学生的创新精神。
注重评价学生在参与与数学学习和与同伴进行交流合作的过程中，表现出来的独立性、合作性；关注学生交流中思维参与的深度与广度。
注重评价学生在数学学习中不断反思的能力。
教师可以适当引入数学探究性课题学习，关注学生在学习过程中的体验和评价。
关注学生在探究学习过程中的感受和体验。
高考数学推理与证明 第4篇
一、考点(限考)概要：
1、推理：
(1)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，称为合情推理。
①归纳推理:
《ㄒ澹河赡忱嗍澄锏牟糠侄韵缶哂心承┨卣鳎推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。
⑻氐悖
*归纳是依据特殊现象推断一般现象，因而，由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围;
*归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象，因而结论具有猜测性;
*归纳的前提是特殊的情况，因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上;
*归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上，提出带有规律性的结论。
2街瑁
*对有限的资料进行观察、分析、归纳整理;
*提出带有规律性的结论，即猜想;
*检验猜想。
②类比推理：
《ㄒ澹河闪嚼喽韵缶哂欣嗨坪推渲幸焕喽韵蟮哪承┮阎特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。
⑻氐悖
*类比是从人们已经掌握了的`事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果;
*类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性;
*类比的结果是猜测性的不一定可靠，单它却有发现的功能。
2街瑁
*找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;
*用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想;
*检验猜想。
(2)演绎推理：
①定义：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。
②演绎推理是由一般到特殊的推理;
③“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
大前提――已知的一般结论;
小前提――所研究的特殊情况;
结 论――根据一般原理，对特殊情况得出的判断。
④“三段论”推理的依据，用集合的观点来理解：
若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P。
(3)合情推理与演绎推理的区别与联系：
①归纳是由特殊到一般的推理;
②类比是由特殊到特殊的推理;
③演绎推理是由一般到特殊的推理.
④从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明;演绎推理得到的结论一定正确。
⑤演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程;而数学结论、证明思路的发现，主要靠合情推理.
2、证明：
(1)直接证明：
①综合法：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法，其特点是：“由因导果”。
②分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等)，这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法，其特点是：“执果索因”。
③数学归纳法：
∈学归纳法公理：
如果①当n取第一个值
(例如
等)时结论正确;
②假设当
时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确;
那么，命题对于从
开始的所有正整数n都成立。
⑺得鳎
*数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行;
*数学归纳法公理是证明有关自然数命题的依据。
(2)间接证明(反证法、归谬法)：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。
用反证法证明一个命题常采用以下步骤：
①假定命题的结论不成立;
②进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾;与公理或定理矛盾;
③由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的;
④肯定原来命题的结论是正确的。
即“反设――归谬――结论”
高考数学推理与证明 第5篇
关于高中数学推理与证明练习题
一、选择题
1.观察下列数的特点1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…中,第100项是()
A．10B．13C．14D．100
2.黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案，则第五个图案中有白色地面砖（）块.
3.右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，
称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律， 所表示的数是()
4.观察图中的图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为（）
5.下面使用类比推理正确的是()
A.“若 ,则 ”类推出“若 ,则 ”
B.“若 ”类推出“ ”
C.“若 ”类推出“ （c0）”
D.“ ”类推出“ ”
6.凡自然数都是整数，而4是自然数，所以，4是整数。以上三段论推理（）
A．正确B．推理形式不正确
C．两个“自然数”概念不一致D．两个“整数”概念不一致
7.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面 ，直线平面 ，直线 ∥平面 ，则直线 ∥直线 ”的结论显然是错误的，这是因为
A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误
8.在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥ABCD的三个侧面ABC、ACD、ADB
两两相互垂直，则可得” （）
A．AB2+AC2+AD2=BC2+CD2+BD2 B．
C． D．AB2AC2AD2=BC2CD2BD2
9.设a,b,c三数成等比数列，而x,y分别为a,b和b,c的等差中项，则 （）
.不确定
10.用反证法证明命题“如果 ”时，假设的内容应是（）
A． B. C. D.
二、填空题:
11. 经计算得 ， ， ， ， ，推测，当 时，
12.数列的前几项为2，5，10，17，26，……，数列的'通项公式为。
13.若数列 的通项公式， 记 ，试通过计算 的值，推测出 =
14.从 中，可得到一般规律为 (用数学表达式表示)
15．用反证法证明命题“如果 ，那么 ”时，假设的内容应为.
三、解答题
16．已知下列等式：
， ， ，……，由此归纳出对任意角度 都成立的一个等式，并予以证明。
17.若a＞0,b＞0,求证： .
18．数列 的前 项和记为 ，
（1）求出 ， ， 的值；
（2）猜想 的表达式，并加以说明。
19．已知A+B= ，且A、B k + (k Z),求证：（1+tanA）(1+tanB)=2
20.三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝CA＝CB，D是AB的中点
（1）证明：ABPC；（2）证明：平面PDC平面ABC.
21.已知a，b，c是全不相等的正实数，求证 。
高考数学推理与证明 第6篇
推理与证明
学生推理与证明的建立，是一个漫长的过程，这个过程的开始可以追溯到小孩牙牙学语时候起，小孩在爸爸妈妈跟前不停的问为什么，可以看做推理的雏形。接着到幼儿园、小学，教材里也有简单的说理，小学教材里有简单地说理题，意在培养学生的逻辑思维。
初中新教材对推理与证明的渗透，也是从说理开始的，但内容比较少，也就是教材中的直观几何内容。很快便转向推理，也就是证明。刚开始推理的步骤，是简单的两三步，接着到四五步，后面还一定要求学生写清楚为什么。在学习这一部分内容的时候，好多学生在后面的.括号里不写为什么，我便给他们举例小孩子学走路的过程，一个小孩刚开始学走路的时候，需要大人或其他可依附的东西，渐渐地，她会脱离工具自己走。学习证明的过程亦如此，起先在括号里写清为什么，并且只是简单的几步，然后证明比较难一点的，步骤比较多的。
随着社会的进步，中学教材加强了解析几何、向量几何，传统的欧式几何受到冲击，并且教材对这一部分的编排分散在初中各个年级，直观几何分量多了还加入了变换如平移变换、旋转变换、对称变换，投影等内容。老师们对内容的编排不太理解，看了专家的讲座，渐渐明白了：这样编排不是降低了推理能力，而是加强了推理能力的培养，体现了逐步发展的过程，把变换放到中学，加强了中学和大学教材的统一，但一个不争的事实是，对演绎推理确实弱了。
关于开展课题学习的实践与认识
新课程教材编排了课题学习这部分内容，对授课的老师，还是学生的学习都是一个全新的内容，怎样上好这部分内容，对老师、对学生而言，都是一个创新的机会。至于课题学习的评价方式，到现在为止，大多数省份还是一个空白，考不考?怎样考?学习它吧，学习的东西不能在试卷上体现出来，于是，好多老师对这部分采取漠视的处理方法;不学习吧，课本上安排了这部分内容。还有一部分老师觉得，课题学习是对某一个问题专门研究，很深!老师不知讲到什么程度才合理，学生不知掌握到什么程度。
经过几年的实践与这次培训的认识，我觉得课题学习是“实践与综合应用”在新课课程中的主要呈现形式，是一种区别于传统的、全新的，具有挑战性的学习，课本的编写者安排的主要目的是：
1. 希望为学生提供更多的实践与探索的机会。
2. 让学生通过对有挑战性和综合性问题的解决，经历数学化的过程。
3. 让学生获得研究问题地方法和经验，使学生的思维能力、自主探索与合作交流的意识和能力得到发展。
4. 让学生体验数学知识的内在联系，以及解决问题的成功喜悦，增进学生学习数学的信心。
5. 使数学学习活动成为生动活泼的、主动的和富有个性的过程。
课题学习首先提出一个主问题(问题是一个载体)，然后给出资料，利用资料挖掘知识。在这个过程中，多关注知识的价值，淡化数学术语，让学生充分经历数学化的过程，激发学生参与的热情，使其体会到学习数学的乐趣，始终以学生为主体，明白课题学习是为学习服务的。
高考数学推理与证明 第7篇
推理与证明：①推理是中学的主要内容，是重点考察的内容之一，题型为选择题、填空题或解答题，难度为中、低档题。利用归纳和类比等方法进行简单的推理的选择题或填空题在近几年的中考中都有所体现。②推理论证能力是中考考查的基本能力之一，它有机的渗透到初中课程的各个章节，对本节的学习，应先掌握其基本概念、基本原理，在此基础上通过其他章节的学习，逐步提高自己的推理论证能力。第一讲 推理与证明
1.知识方法梳理
一、考纲解读：
本部分内容主要包括：合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法等内容，其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的.知识，代表研究性命题的发展趋势。新课标考试大纲将抽象概括作为一种能力提出，进一步强化了合情推理与演绎推理的要求，因此在复习中要重视合情推理与演绎推理。高考对直接证明与间接证明的考查主要以直接证明中的综合法为主，结合不等式进行考查。
二、要点梳理：
1.归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别事物，发现某些相同的性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题。
2.类比推理的一般步骤：
(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)。
3.演绎推理
三段论及其一般模式：①大前提――已知的一般原理;②小前提――所研究的特殊情况;③结论――根据一般原理，对特殊情况作出判断。
4.直接证明与间接证明
①综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法。综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论。
②分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法。分析法的思维特点是：执果索因。
③反证法：要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面(非A)是错误的，从而断定A是正确的，即为反证法。一般地，结论中出现“至多”“至少”“唯一”等词语，或结论以否定语句出现，或要讨论的情况复杂时，常考虑使用反证法。
④数学归纳法：
Ⅱ。题型分类聚焦：
类型一：合情推理
例1.(全国Ⅱ理)平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行.类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件
高考数学推理与证明 第8篇
数学推理与证明、复数复习要点论文
一、重点、要点回顾
1.归纳推理
近几年高考特别注重对归纳猜想的考查，主要形式是根据已知条件归纳出一个结论，若是解答题，再用演绎推理对结论进行证明。归纳推理的注意点：①归纳推理是依据特殊现象推断一般现象，由归纳推理得到的结论超越了前提所包容的范围，因而必须立足于观察、检验、实验的基础上；②用归纳推理归纳结论时，切记不要以偏概全，不能根据几个特殊情况就得到一般性结论，需再用所学知识去证明结论是否正确，所以要慎重。
2.类比推理
类比推理在近几年的高考中屡有出现，且不断翻新，不但考查考生对联想、类比等方法的掌握情况，还考查考生的演绎（逻辑）推理能力。类比推理的注意点：①类比推理是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认知为基础，类比出新的结果；②类比推理是从一种事物的特殊属性推测到另一种事物的特殊属性，是由特殊与特殊的推理；③在几何问题的推理中，通常情况下，平面图形中的点、线、面可类比为空间图形中的线、面、体，平面图形中的面的面积可类比为空间图形中的几何体体积。
3.演绎推理
演绎推理的一般步骤：可根据具体问题灵活选择推理步骤，但几种推理规则基本都遵循“条件――推理――结论”这样的三步式。演绎推理的注意点：①在数学中，证明命题的正确性都是用演绎推理，而合情推理不能当作证明；②演绎推理中的三段论推理中的大前提在具体问题的推理过程中有时可以省略，但是必须明确大前提是什么。
4.直接证明
综合法与分析法是两种思路截然相反的证明方法。综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，实际上是要寻找上一步的必要条件。而分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，实际上是要寻找使上一步成立的充分条件。分析法和综合法各有其优缺点：①从寻求解题思路来看，分析法有利于思考，方向明确，思路自然；综合法往往枝节横生，不容易达到所要证明的结论。②从表达过程而论，分析法叙述繁琐，文辞冗长；综合法形式简捷，条理清晰。也就是说，分析法利于思考，综合法宜于书写。因此，在实际解题时，常常把这两种方法结合起来使用，即先用分析法探索证题的途径，然后用综合法写出证明过程，这是解决数学问题常用的一种重要方法。
5.间接证明
使用反证法证明数学命题的一般步骤为：（1）分清命题的条件与结论；（2）做出与命题相矛盾的假设；（3）由假设出发，应用正确推理的方法，推出矛盾；（4）断定产生矛盾结果的原因在于开始所做的假设不真，于是原结论成立，从而间接证明原命题成立。 6.数学归纳法
用数学归纳法证明的关键在于两个步骤要做到“递推基础不能少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”。因此必须注意以下几点：（1）验证是基础。数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找到一个数，这个数就是我们要证明命题对象的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是我们正确运用数学归纳法第一个要注意的问题。（2）递推乃关键。数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k+1”的过程，必须把假设“n=k”作为条件来导出“n=k+1”时的命题，在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次。（3）正确寻求递推关系。我们已经知道数学归纳法的第二步递推是至关重要的，如何寻求递推公式呢？①在第一步验证时，不妨多计算几项，并争取正确写出来，这样对发现递推公式是有帮助的。②探求数列通项公式要善于观察式子或命题的'变化规律，观察n处在哪个位置。③在书写f(k+1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，除此之外，多了哪些项、少了哪些项都要分析清楚。
二、常见方法、技巧及注意点
1.使用反证法证明问题时，准确地做出反设（即否定结论）是正确运用反证法的前提，常用的“结论词”与“反设词”列表如下：
2.反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾。常见矛盾有三类：
（1）与假设矛盾；（2）与数学公理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；（3）与公认的简单事实矛盾。
3.在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑，如果只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误。
4.运用数学归纳法常见的错误：
①没有验证第一步；②第一步验证多了，不但验证了，不放心，又验证了等，其实这是多余的，追其原因还是对第一步、第二步不理解；③没有写第二步中的归纳假设；④虽写出了第二步中的归纳假设，但在证明中没有用上；⑤证明过程中虽用上了归纳假设，但没有进行实质的恒等变形，只是形式上写出结果；⑥虽有中间变形，或中间变形有错，或中间变形变不到应有的结果，或只是形式的写上结果。
5.复数的有关问题，一可以转化为实数问题，二可以转化为平面几何问题。在学习过程中，要充分利用相关知识，实现问题的转化。
高考数学推理与证明 第9篇
考纲导读
（一）合情推理与演绎推理
1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用。
2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。
3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。
（二）直接证明与间接证明
1.了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点。
2.了解间接证明的一种基本方法──反证法;了解反证法的思考过程、特点。
（三）数学归纳法
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
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1.推理与证明的内容是高考的新增内容，主要以选择填空的形式出现。
2.推理与证明与数列、几何、等有关内容综合在一起的综合试题多。
1、由数列1，10，100，1000，……猜测该数列的第n项可能是( )
; ; ; .
2、类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是( )
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等;②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等;③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等
A.①; B.①②; C.①②③; D.③。
3、下列表述正确的是( )
①归纳推理是由部分到整体的推理;②归纳推理是由一般到一般的`推理;③演绎推理是由一般到特殊的推理;④类比推理是由特殊到一般的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。
A.①②③; B.②③④; C.②④⑤; D.①③⑤。
4、演绎推理是以下列哪个为前提，推出某个特殊情况下的结论的推理方法( )
A.一般的原理原则; B.特定的命题; C.一般的命题; D.定理、公式。
5、实数a、b、c不全为0的条件是( )
、b、c均不为0; 、b、c中至少有一个为0;
、b、c至多有一个为0; 、b、c至少有一个不为0。
6、设m≠n，x=m4-m3n，y=n3m-n4，则x与y的大小关系为( )
;y; ;
高考数学推理与证明 第10篇
文科推理与证明
(一)合情推理与演绎推理
1.了解合情 推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用。
2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理。
3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。
(二)直接证明与间接证明
1.了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点。
2.了解间接证明的一种基本方法──反证法;了解反证 法的思考过程、特点。
(三)数学归纳法
了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
1.推理与证明的内容是高考的新增内容,主要以选择填空的形式出现。
2.推理与证明与数列、几何、等有关内容综合在一起的综合试题多。
第1课时 合情推理与演绎推理
1. 推理一般包括合情推理和演绎推理;
2.合情推理包括 和 ;
归纳推理:从个别事实中推演出 ,这样的推理通常称为归纳推理;归纳推理的思维过程是: 、、.
类比 推理:根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其它方面也 或 ,这样的推理称为类比推理,类比推理的思维过程是: 、、.
3.演绎推理:演绎推理是 ,按照严格的逻辑法则得到的 推理过程;三段论常用格式为:①M是P,② ,③S是P;其中①是 ,它提供了一个个一般性原理;②是 ,它指出了一个个特殊对象;③是 ,它根据一般原理,对特殊情况作出的判断.
4.合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果,以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程,归纳和类比是合情推理常用的思维方法;在解决问题的过程中,合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用,有得于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论,按照严格的逻辑法则得到的新结论的推理过程.
《新课标》高三数学第一轮复习单元讲座
―逻辑、推理与证明、复数、框图
一.课标要求：
1.常用逻辑用语
(1)命题及其关系
① 了解命题的逆命题、否命题与逆否命题;② 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系;
(2)简单的逻辑联结词
通过数学实例，了解“或”、“且”、“非”逻辑联结词的含义。
(3)全称量词与存在量词
① 通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义;
② 能正确地对含有一个量词的命题进行否定。
2.推理与证明
(1)合情推理与演绎推理
①结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用;
②结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理;
③通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。
(2)直接证明与间接证明
①结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点;
②结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法--反证法;了解反证法的思考过程、特点;
(3)数学归纳法
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题;
(4)数学文化
①通过对实例的介绍(如欧几里德《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律)，体会公理化思想;
②介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的`作用;
3.数系的扩充与复数的引入
(1)在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系;
(2)理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件;
(3)了解复数的代数表示法及其几何意义;
(4)能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加减运算的几何意义。
4.框图
(1)流程图
①通过具体实例，进一步认识程序框图;
②通过具体实例，了解工序流程图(即统筹图);
③能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用;
(2)结构图
①通过实例，了解结构图;运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息;
②结合作出的结构图与他人进行交流，体会结构图在揭示事物联系中的作用。
二.命题走向
常用逻辑用语
本部分内容主要是常用的逻辑用语，包括命题与量词，基本逻辑联结词以及充分条件、必要条件与命题的四种形式。
预测高考对本部分内容的考查形式如下：考查的形式以填空题为主，考察的重点是条件和复合命题真值的判断。
高考数学推理与证明 第11篇
二. 本周教学目标：
1. 结合已经学过的数学实例和生活实例，了解合情推理，能利用归纳和类比等方法进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学中的作用。
2. 结合已经学过的数学实例和生活实例，了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的模式，并能运用它们进行一些简单的推理。
3. 了解直接证明的两种基本方法――分析法与综合法;了解间接证明的一种基本方法――反证法。
三. 本周知识要点：
(一)合情推理与演绎推理
1. 归纳推理与类比推理
(1)已知数列 的通项公式 ，记 ，试通过计算 的值，推测出 的值。
(2)若数列 为等差数列，且 ，则 。现已知数列 为等比数列，且 ，类比以上结论，可得到什么结论?你能说明结论的正确性吗?
【学生讨论：】(学生讨论结果预测如下)
(1)
由此猜想，
(2)结论：
证明：设等比数列 的公比为 ，则 ，所以
――如(1)是从个别事实中推演出一般结论，像这样的推理通常称为归纳推理。
――如(2)是根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理。
说明：
(1)归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。
(2)归纳推理的一般步骤：
①通过观察个别情况发现某些相同的性质。
②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想)。
(3)类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性
质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
(4)类比推理的一般步骤：
①找出两类事物之间的相似性或者一致性。
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)。
2. 演绎推理
现在冰雪覆盖的南极大陆，地质学家说它们曾在赤道附近，是从热带飘移到现在的位置的，为什么呢?原来在它们的地底下，有着丰富的煤矿，煤矿中的树叶表明它们是阔叶树。从繁茂的阔叶树可以推知当时有温暖湿润的气候。所以南极大陆曾经在温湿的热带。
被人们称为世界屋脊的西-藏高原上，一座座高山高入云天，巍然屹立。西-藏高原南端的喜马拉雅山横空出世，雄视世界。珠穆朗玛峰是世界第一高峰，登上珠峰顶，一览群山校谁能想到，喜马拉雅山所在的地方，曾经是一片汪洋，高耸的山峰的前身，竟然是深不可测的大海。地质学家是怎么得出这个结论的呢?
科学家们在喜马拉雅山区考察时，曾经发现高山的地层中有许多鱼类、贝类的化石。还发现了鱼龙的化石。地质学家们推断说，鱼类贝类生活在海洋里，在喜马拉雅山上发现它们的化石，说明喜马拉雅山曾经是海洋。科学家们研究喜马拉雅变迁所使用的方法，就是一种名叫演绎推理的方法。
1. 演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的`推理方法。
2. 演绎推理的一般模式
分析喜马拉雅山所在的地方，曾经是一片汪洋的推理过程：
鱼类、贝类、鱼龙，都是海洋生物，它们世世代代生活在海洋里……大前提
在喜马拉雅山上发现它们的化石……小前提
喜马拉雅山曾经是海洋……结论
M-P(M是P)
常用格式：
S-M(S是M)
S-P(S是P)
三段论：(1)大前提……已知的一般原理
(2)小前提……所研究的特殊情况
(3)结论……根据一般原理，对特殊情况作出的判断
用集合论的观点分析：若集合M中的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P。
练习：分析下面几个推理是否正确，说明为什么?
(1)因为指数函数 是增函数，
(2)因为无理数是无限小数
而 是指数函数 而π是无限小数
所以 是增函数 所以π是无理数
(3)因为无理数是无限小数，而 (=……)是无限小数，所以 是无理数
说明：在应用“三段论”进行推理的过程中，大前提、小前提或推理形式之一错误，都可能导致结论错误。
比较：合情推理与演绎推理的区别与联系
从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个体到一般的推理;类比推理是由特殊到特殊的推理;而演绎推理是由一般到特殊的推理。
从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待于进一步证明;演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。
人们在认识世界的过程中，需要通过观察、实验等获取经验;也需要辨别它们的真伪，或将积累的知识加工、整理，使之条理化，系统化，合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要的角色。
就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理。因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想。
(二)直接证明与间接证明
1. 综合法与分析法
(1)综合法
一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理证明，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法又叫顺推证法。
它的基本思路是“由因导果”，即从“已知”得“可知”，再逐步推向未知的方法。
(2)分析法
我们从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件，这种证明方法叫分析法，它的特点是：从未知看需知，再逐步靠近已知。
2. 间接证明
反证法
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
(三)数学归纳法
用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
(1)证明：当n取第一个值 时结论正确;
(2)假设当n=k(k∈ ，且k≥ )时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确。
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。
数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题： 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。
【典型例题】
例1. 如图所示，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D，E为垂足，求证：AB的中点M到D，E的距离相等。
证明：(1)因为有一个内角为直角的三角形是直角三角形，…………大前提
在△ABD中，AD⊥BC，∠ADB=90，………………………小前提
所以△ABD是直角三角形。 ……………………………………结论
同理，△AEB也是直角三角形
(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，…………………大前提
而M是Rt△ABD斜边AB的中点，DM是斜边上的中线，………小前提
所以DM= ，……………………………………………………结论
同理，EM= 。 所以DM=EM
例2. 已知 ，求证： 。
证法一(综合法)：
证法二(分析法)： ，为了证明 ，
只需证明 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 .
成立，
例3：证明： 不能为同一等差数列的三项。
证明：假设 、、为同一等差数列的三项，则存在整数m，n满足
= +md ① = +nd ②
① n-② m得： n- m= (n-m)
两边平方得： 3n2+5m2-2 mn=2(n-m)2
左边为无理数，右边为有理数，且有理数 无理数
所以，假设不正确。即 、、不能为同一等差数列的三项
例4. 通过计算可得下列等式：
将以上各式分别相加得：
类比上述求法：请你求出 的值。
将以上各式分别相加得：
所以：
例5.自然状态下鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响，用 表示某鱼群在第 年年初的总量， ，且 >0。不考虑其它因素，设在第 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 成正比，死亡量与 成正比，这些比例系数依次为正常数 。
(Ⅰ)求 与 的关系式;
(Ⅱ)猜测：当且仅当 ， 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变?(不要求证明)
解：(I)从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为
(II)若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， n∈ ，从而由(*)式得
因为x1>0，所以a>b。
猜测：当且仅当a>b，且 时，每年年初鱼群的总量保持不变。
【模拟试题】
1. 如果数列 是等差数列，则
A. B.
C. D.
2. 下面使用类比推理正确的是
A. “若 ，则 ”类推出“若 ，则 ”
B. “若 ”类推出“ ”
C. “若 ” 类推出“ (c≠0)”
D. “ ” 类推出“ ”
3. 有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为
A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 非以上错误
4. 设 ， ，n∈N，则
A. B. - C. D. -
5. 在十进制中 ，那么在5进制中数码折合成十进制为
A. 29 B. 254 C. 602 D. 2004
6. 函数 的图像与直线 相切，则 =
A. B. C. D. 1
7. 下面的四个不等式：① ;② ;③ ;④ 。其中不成立的有
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8. 类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB、AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系： 。若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则三棱锥