微积分学基本定理证明 第1篇
没错，微积分基本定理一共有两条，我们分别来看。
微积分第一基本定理告诉我们，变上限积分和求导这两个泛函互为反函数。注意这里的积分下限不是变量是常数，而上线就是我们的代表变量x，而随着a参数的不同，其结果应该相差一个常数，有一族函数都满足条件。
其严格的证明需要用到第一积分中值定理，剩下就是微积分的基本定义了，这里我不抄一遍了，因为我觉得对其物理意义的理解更加重要。积分的物理意义就是函数和x轴围城的带符号的面积，而变上限积分把这个面积和x终点之间的函数关系扣下来变成了积分。那么这个函数的导数的物理意义是什么呢，不就是x每增加一个小量，y增加的小量么？那具体到这里的物理意义，不就是x每增加一个面积的横向长度增加的面积量吗？这个我们姑且可以定义为，瞬时面积增加速度呗，等于单位前进长度内面积增加量在某个点的极限，这个极限就是这个矩形的高，自然就是原来函数f(x)的值啊。所以微积分第一基本定理的物理意义就很明确了，一个函数与x围成的有向面积的增长瞬时增长速度等于该点的函数值。
怪不得微积分这玩意还得记物理学家牛顿一大功，毕竟这里最典型乃至核心的应用就是牛顿力学和运动学了。
有了这个，那微积分第二定理就显而易见了。只需要取x = b和a作差，带入后根据微积分的定义就可以求得了。再用中值定理去证明一遍，虽然严谨，但是少了数学的物理意义和直觉以及主干思路清晰简明的美。
那这个微积分第二定理相信你看着有点熟悉，没错，它更有名的名字应该叫做牛顿-莱布尼兹公式，是由他们两人各自独立发现，竞争之后谁也不服谁就被后人共同命名的。毕竟争下这种级别公式的命名权就和获得一个上前面活在人们心中的机会一样，谁都是要撕破脸的，科学家这等聪明人，并不是圣人，只会有过之而无不及。
总结和畅想
其实啊，很多数学定理，尤其是那种最初等根本的定理，看起来就是在说一个很显然的事实，有时候其证明虽然晦涩，用的人也不会去管证明细节。但是直观看上去，其成立要么揭示了一种本质的结构，比如算术基本定理和代数基本定理；要么就是源于我们本身对数学大厦的构建，如微积分基本定理，无论哪种，都是深刻而安全地向我们挖掘着这上帝给我们留下的宝藏，希望我们的一生中间能够多获得一点这样的洗礼，而不至于白走一遭。
接下来，本系列还有最后一个基本定理，是我从事的计算机行业最重要的一项指导性结论，卖个关子，下期内容，敬请关注！
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微积分学基本定理证明 第2篇
准备知识
介值定理
介值定理，又名中间值定理，是闭区间上连续函数的性质之一。在数学分析中，介值定理表明，如果定义域为[a，b]的连续函数f，那么在区间内的某个点，它可以在f（a）和f（b）之间取任何值，也就是说，介值定理是在连续函数的一个区间内的函数值肯定介于最大值和最小值之间。
积分估值定理
积分中值定理
积分中值定理的几何解释：
公式推导导数与定积分互为逆运算
推导微积分基本定理的第二部分：
－End－
微积分学基本定理证明 第3篇
对于图为曲线的连续函数y=f(x)，x的每个值都有一个对应的面积函数A(x)，表示曲线下面0到x之间的面积。
在x和x+h之间的曲线下面积可以通过找到0和x+h之间的面积，然后减去0和x之间的面积来计算，换句话说，这个“红色带”的面积将是A(x+h)-A(x)。
还有另一种方法来估计同一条“红色带”的面积。如上图所示，h*f(x)是矩形的面积，该矩形的面积与此条“红色带”的大小大致相同：
如果加上右上角红色曲线三角部分Excess，则可以准确表述为：
推导出：
h|f(x+h)-f(x)|为右上角小长方形的面积。|Red Excess|<=小长方形面积
也就是：
当h→0上，上式右值→0，相应的左值→0。所以有
也就是f(x) = A′(x)